Porque son numeros primos

Porque son numeros primos

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Construir números a partir de bloques de construcción más pequeños: Cualquier número de conteo, que no sea el 1, puede construirse sumando dos o más números de conteo más pequeños. Pero sólo algunos números contables pueden componerse multiplicando dos o más números contables más pequeños.

Números primos y compuestos: Podemos construir 36 a partir de 9 y 4 multiplicando; o podemos construirlo a partir de 6 y 6; o a partir de 18 y 2; o incluso multiplicando 2 × 2 × 3 × 3. Los números como 10 y 36 y 49 que se pueden componer como productos de números de conteo más pequeños se llaman números compuestos.

Algunos números no se pueden construir de esta manera a partir de piezas más pequeñas. Por ejemplo, la única manera de construir 7 multiplicando y utilizando sólo números de conteo es 7 × 1. ¡Para «construir» 7, debemos utilizar 7! Así que en realidad no lo estamos componiendo a partir de piezas más pequeñas, sino que lo necesitamos para empezar. Los números de este tipo se llaman números primos.

Informalmente, los números primos son aquellos que no se pueden formar multiplicando otros números. Eso capta bien la idea, pero no es una definición lo suficientemente buena, porque tiene demasiadas lagunas. El número 7 se puede componer como el producto de otros números: por ejemplo, es 2 × 3. Para captar la idea de que «7 no es divisible por 2», debemos dejar claro que estamos restringiendo los números para incluir sólo los números de conteo: 1, 2, 3….

Números compuestos

Los números primos son los números que sólo tienen dos factores, es decir, el 1 y el propio número. Consideremos un ejemplo del número 5, que sólo tiene dos factores 1 y 5. Esto significa que es un número primo. Tomemos otro ejemplo del número 6, que tiene más de dos factores, es decir, 1, 2, 3 y 6. Esto significa que el 6 no es un número primo. Ahora bien, si tomamos el ejemplo del número 1, sabemos que sólo tiene un factor. Por lo tanto, no puede ser un número primo, ya que un número primo debe tener exactamente dos factores. Esto significa que el 1 no es ni un número primo ni un número compuesto, es un número único.

Un número mayor que 1 con exactamente dos factores, es decir, 1 y el propio número se define como un número primo. En otras palabras, si un número no puede dividirse en grupos iguales, entonces es un número primo. Podemos dividir un número en grupos con igual número de elementos sólo si se puede factorizar como producto de dos números. Por ejemplo, el 7 no puede dividirse en grupos de números iguales. Esto se debe a que el 7 sólo se puede factorizar de la siguiente manera:

¿es el 6 un número primo?

La confusión comienza con esta definición que una persona puede dar de «primo»: un número primo es un número entero positivo que sólo es divisible por 1 y por sí mismo. El número 1 es divisible por 1, y es divisible por sí mismo. Pero él mismo y 1 no son dos factores distintos. ¿Es 1 primo o no? Cuando escribo la definición de primo en un artículo, intento eliminar esa ambigüedad diciendo que un número primo tiene exactamente dos factores distintos, 1 y él mismo, o que un primo es un número entero mayor que 1 que sólo es divisible por 1 y por él mismo. Pero, ¿por qué llegar a esos extremos para excluir el 1?

Mi formación matemática me enseñó que la buena razón para que el 1 no se considere primo es el teorema fundamental de la aritmética, que afirma que todo número puede escribirse como producto de primos exactamente de una manera. Si el 1 fuera primo, perderíamos esa unicidad. Podríamos escribir 2 como 1×2, o 1×1×2, o 1594827×2. Excluir el 1 de los primos lo suaviza.

Mi plan original para este artículo era explicar el teorema fundamental de la aritmética y terminar con él. Pero en realidad no es tan difícil modificar el enunciado del teorema fundamental de la aritmética para abordar el problema del 1 y, después de todo, la pregunta de mi amigo despertó mi curiosidad: ¿cómo llegaron los matemáticos a esta definición de primo? Si echamos un vistazo a algunas páginas de la Wikipedia relacionadas con la teoría de los números, encontramos la afirmación de que el 1 solía considerarse primo, pero ya no lo es. Pero un artículo de Chris Caldwell y Yeng Xiong muestra que la historia del concepto es un poco más complicada. Aprecio este sentimiento del principio de su artículo: «En primer lugar, si un número (especialmente la unidad) es primo es una cuestión de definición, por lo que es una cuestión de elección, contexto y tradición, no una cuestión de prueba. Sin embargo, las definiciones no se hacen al azar; estas elecciones están ligadas a nuestro uso de las matemáticas y, especialmente en este caso, a nuestra notación».

Por qué el 1 no es un número primo

Euclides demostró que 2n-1(2n-1) es un número perfecto par cuando 2n-1 es un primo de Mersenne. Ahora se llaman números de Euclides y Euler demostró que todos los números perfectos pares tienen esta forma para algún número primo positivo n. Así, 6, 28,496 son perfectos y corresponden a los valores 3, 7 y 31 para 2n-1 en la fórmula.

Podemos numerar todos los primos en orden ascendente, de modo que P1 = 2, P2 = 3, P3 = 5 y así sucesivamente. Si suponemos que sólo hay n primos, entonces el mayor primo será etiquetado como Pn . Ahora podemos formar el número Q multiplicando todos estos primos y añadiendo 1, de modo que

Pero sabemos que todos los enteros positivos son primos o pueden descomponerse en un producto de primos. Esto significa que, o bien Q debe ser primo, o bien Q debe ser divisible por primos mayores que Pn.

La conjetura de Goldbach debe su nombre al teórico y analista de números de origen prusiano Christian Goldbach (1690-1764), que fue profesor de matemáticas e historiador de la Academia Imperial Rusa. También fue tutor de Pedro el Grande y miembro del Ministerio de Asuntos Exteriores del Zar.

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