Demostración de la conjetura de poincaré

Demostración de la conjetura de poincaré

Ecuación de la conjetura de poincaré

Si estiramos una goma elástica alrededor de la superficie de una manzana, entonces podemos encogerla hasta un punto moviéndola lentamente, sin romperla y sin permitir que se salga de la superficie. En cambio, si imaginamos que la misma goma elástica se ha estirado de alguna manera en la dirección adecuada alrededor de un donut, entonces no hay manera de encogerla hasta un punto sin romper ni la goma ni el donut. Decimos que la superficie de la manzana está «simplemente conectada», pero que la superficie del donut no lo está. Poincaré, hace casi cien años, sabía que una esfera bidimensional se caracteriza esencialmente por esta propiedad de conectividad simple, y se planteó la pregunta correspondiente para la esfera tridimensional.

Esta pregunta resultó ser extraordinariamente difícil. Pasó casi un siglo entre su formulación en 1904 por Henri Poincaré y su solución por Grigoriy Perelman, anunciada en preprints publicados en ArXiv.org en 2002 y 2003. La solución de Perelman se basaba en la teoría del flujo de Ricci de Richard Hamilton, y utilizaba resultados sobre espacios de métricas debidos a Cheeger, Gromov y el propio Perelman. En estos trabajos, Perelman también demostró la conjetura de geometrización de William Thurston, un caso especial de la conjetura de Poincaré. Véase el comunicado de prensa del 18 de marzo de 2010.

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La conjetura de Poincaré es un problema topológico establecido en 1904 por el matemático francés Henri Poincaré. Caracteriza las esferas tridimensionales de forma muy sencilla. Utiliza únicamente el primer invariante de la topología algebraica -el grupo fundamental-, que también fue definido y estudiado por Poincaré. La conjetura implica que si un espacio no tiene agujeros esenciales, entonces es una esfera. Este problema fue resuelto directamente entre 2002 y 2003 por Grigori Perelman, y como consecuencia de su demostración de la conjetura de geometrización de Thurston, que culminó en el camino propuesto por Richard Hamilton.

Jaco, W., y Shalen, P. B. (1978). A new decomposition theorem for irreducible sufficiently-large 3-manifolds. En J. Milgram (Ed.), Algebraic and geometric topology (pp. 71-84). Providence: American Mathematical Society. doi: 10.1090/pspum/032.2

La conjetura de poincaré explicada de forma sencilla

Poincaré fue un influyente filósofo francés de la ciencia y las matemáticas, además de un distinguido científico y matemático. En los fundamentos de las matemáticas abogó por el convencionalismo, contra el formalismo, contra el logicismo y contra el hecho de que Cantor tratara sus nuevos conjuntos infinitos como independientes del pensamiento humano. Poincaré subrayó el papel esencial de la intuición en una adecuada fundamentación constructiva de las matemáticas. Creía que la lógica era un sistema de verdades analíticas, mientras que la aritmética era sintética y a priori, en el sentido de Kant de estos términos. Los matemáticos pueden utilizar los métodos de la lógica para comprobar una prueba, pero deben utilizar la intuición para crear una prueba, según él.

Sostenía que las geometrías no euclidianas son tan legítimas como la geometría euclidiana, porque todas las geometrías son convenciones o definiciones «disfrazadas». Aunque todas las geometrías se refieren al espacio físico, la elección de una geometría en lugar de otras es una cuestión de economía y simplicidad, no una cuestión de encontrar la verdadera entre las falsas.

Grigori perelman iq

Grigoriy Perelman recibió la medalla Fields en la reunión de Madrid del Congreso Internacional de Matemáticos por «sus contribuciones a la geometría y sus revolucionarios conocimientos sobre la estructura analítica y geométrica del flujo de Ricci». Varios autores han escrito exposiciones detalladas del trabajo de Perelman. Estos trabajos, así como otros comentarios y referencias, se enumeran en esta página.

Notes on Perelman’s Papers, por Bruce Kleiner y John Lott, arXiv.org, 25 de mayo de 2006. Las versiones anteriores estaban disponibles en el sitio web de Kleiner-Lott desde junio de 2003 y septiembre de 2004, para el primer y el segundo trabajo de Perelman sobre el flujo de Ricci, respectivamente.

Hamilton-Perelman’s Proof of the Poincaré and Geometrization Conjecture por Huai-Dong Cao y Xi-Ping Zhu, arXiv.org, 3 de diciembre de 2006. Una versión revisada del artículo A Complete Proof of the Poincaré and Geometrization Conjectures – application of the Hamilton-Perelman theory of the Ricci flow, publicado por el Asian Journal of Mathematics, junio de 2006.

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